in "História das Matemáticas na Antiguidade"
Livrarias Ailland e Berthand, Paris-Lisboa, 1925.
(nesta transcrição : negritos, destaques, acréscimos e ilustrações por Jarbas Vilela)
O EGITO ANTIGO
Em tempos remotíssimos
Logo que na região do Nilo apareceram as primeiras condições de cultura, e se deu a invasão de povos vizinhos que tiveram de abandonar os solos áridos, onde haviam até então permanecido - num período que vai de 10.000 a 7.500 anos antes dos nossos dias, considera o Prof. FLINDERS PETRIE, membro da Real Sociedade e da Academia Britânica, duas civilizações distintas no Egito.
Já na primeira civilização, aparecem trabalhos notáveis em barro, com decorações formadas por linhas cruzadas, em pedra lavrada, e até em cobre - como alfinetes para prender os vestuários constituídos por peles de cabra, pentes, etc.
Nesse período e desde os primeiros tempos, usavam-se sandálias e pentes de osso esculpidos com largos debuxos de gazelas ou de aves.
Na segunda civilização, que vai de 9.000 a 7.500 anos antes dos nossos dias, já apareceu a influencia de povos vindos do leste, provavelmente os de caráter proto-semítico. Generaliza-se neste período o uso de galeras ou navios, como se reconhece dos desenhos descobertos nos sepulcros arrancados às profundidades dos depósitos do Nilo.
Sua organização social era importante.
Trabalhando os metais e a pedra, os objetos encontrados atestam uma perfeição e precisão mecânica que, segundo PETRIE (in "Historia de las naciones" - fasc.1º, Barcelona) " nenhuma raça humana pôde jamais igualar".
A posição da quase totalidade dos corpos nas sepulturas - deitados sobre o lado esquerdo, a cabeça para o sul e o rosto voltado para o poente - e o grande valor dos objetos de uso diário e adornos, colocados sempre em igual posição, demonstram uma uniformidade de ritual que, além do conhecimento preciso da orientação e, portanto, dos fenômenos astronômicos , bem indicam quanto era firme a sua crença na imortalidade, e como esses povos pensavam nas necessidades duma ativa vida futura.
Ao terminar esse período, uma nova invasão de povos vindos do leste, do Elam - a raça dinástica - estabeleceu a sua autoridade no Egito, fundindo-se com os antigos habitantes. E no ano 5.550 aC MENÉS, o unificador e fundador da I dinastia estabelecia a sua capital em Mênfis e criou uma nova ordem social, marcando um longo período de paz constante.
Sobreveio, então, a mais importante das inovações : a escrita hieroglífica.
As construções e os monumentos tomaram grande incremento; prosperou a agricultura e a indústria ( SNEFRU - 4797-4771 aC. - foi considerado como explorador das minas da Península do Sinai. Lê-se numa inscrição do tempo da XII dinastia : "desde o tempo de SNEFRU não se tem feito nada comparável com o que ele fez".). Aumentou o bem-estar e a cultura - enfim, produziu um rápido progresso e um sem-número de benefícios resultantes dum mando amplamente unificado, pois o rei é, para os egípcios : a bondosa divindade, cujos benefícios se fazem sentir em toda a parte ; o dispensador da proteção, da conservação da saúde e da alegria e, principalmente, o senhor do direito : a encarnação e a fonte de toda ordem e saber jurídicos - que castiga os malvados e protege os débeis.
São dessa época as célebres pirâmides e as obras de joalheria em ouro, brilhantes, turquesas, coral, lápis-lázuli e mais pedrarias e metais preciosos.
Segundo HERÓDOTO a maior pirâmide exigiu o trabalho de 100.000 homens durante 20 anos ; sendo ainda hoje um assombro para os engenheiros pensar nos meios empregados para amontoar uma tal montanha de pedras em que se encontram blocos todos lavrados de perto de 10 m. de comprimento, estando as pedras tão exatamente ajustadas, que se pode passear uma lâmina de canivete na sua superfície sem descobrir a junta que as separa.
Rochedos enormes, talhados regularmente em todas as suas faces e dispostos sob uma forma geométrica definida, com seus corredores e câmaras funerárias habilmente dissimuladas, perpetuam duma maneira iniludível a lembrança do poder e da civilização egípcia.
E a Grande Pirâmide de KUFFÚ, sem decoração nem inscrições, constitui, pela sua orientação e métrica, um monumento digno de meditação e de estudos.
Modernamente, datam as primeiras investigações do fim do Século XVIII, quando da expedição de BONAPARTE ao Egito, as quais levaram a constatar-se que as diagonais da base, prolongadas, encerram muito exatamente o Delta e que o meridiano passado pelo vértice divide o Delta em duas partes iguais, tendo os astrônomos verificado que, com erro inferior a 5 minutos, estavam orientadas as faces desta Pirâmide, de modo a fixar os pontos cardiais.
Quanto às dimensões, refere HERÓDOTO que as proporções estabelecidas entre o lado da base e a altura da Pirâmide eram tais, que o quadrado constituído sobre esta última grandeza era igual ao raio do círculo cuja circunferência é igual ao perímetro da base. Esta é um quadrado de lado primitivamente igual a 238m,805 , o que dá, de acordo com a regra, 4X 232m,805 = 931m,22 = 2 (pi)X h, e h= 148m,208, número que muito exatamente as dimensões modernas confirmam : o que indica a extraordinária precisão daquele trabalho e conhecimentos geométricos que rapidamente se foram perdendo nas gerações posteriores.
Os ideais professados pelos construtores são admiráveis ; e as suas regras de conduta moral convêm perfeitamente a todos homens e a todas as sociedades humanas, o que levou HERÓDOTO a afirmar : "os egícios têm mais temor a Deus que os outros homens".
Na época da construção da Pirâmide de KUFÚ, alcançou esta notabilíssima civilização o máximo esplendor ; depois foi caminhando gradualmente para a decadência, sobretudo a partir de 2.500 ou 2.000 aC., quando se deu a penetração dos sírios e outros povos orientais, entre os quais as tribos semíticas dos hiksos - pertence a esta época a conhecida emigração de ABRAÃO, que pertencia à mesma raça e condição que os hiksos - que os nubianos haviam de expulsar, fundando com AHMÉS , a XVIII dinastia.
Os conhecimentos até ao fim do Médio Império
Civilização essencialmente prática, cuja política e religião conhecemos nas suas bases fundamentais, podemos perfeitamente fazer reviver e reconstituir a sua cultura pelos desenhos das tumbas, referentes às colheitas, à criação de gado e à caça, à viticultura, à pesca, à navegação e à indústria.
Conhecemos as suas diversões : jogos de luta e danças, canto e música ( com flauta, harpa e alaúde ).
Admiramos suas manufaturas.
Causam-nos assombros descobrimentos técnicos tão notáveis como a manufatura do vidro, o fabrico de louças e os lavores em metal.
E o valor da sua arquitetura aparece-nos nas maciças construções de pedra dos sepulcros, pirâmides e templos, e nas leves e elegantes construções de tijolo e madeira empregadas nas casas e palácios.
Que os egípcios tinham muitos conhecimentos, principalmente de matemáticas aplicadas, afirman-nos as suas construções e não podemos duvidar de que escreveram obras a tal respeito : de agrimensura ( lê-se em inscrições muito antigas : " Os campos eram medidos por agrimensores da casa real, para se calcular o que produziam" ) e de astronomia, como provam as atentas observações e a concepção exata dos fenômenos celestes que se encontram no calendário egípcio.
[ Adendo : "Os egípcios possuíam um sistema aritmético diferente do nosso... Já os gregos acreditavam que o Egito fora o berço da agrimensura. Heródoto mencionou a necessidade de uma retificação anual das quotas de impostos devidas ao faraó, porque as inundações que tinham lugar nos campos de cultura costumavam arrancar, vez por outra, um pedaço de terra e com isso diminuir a renda tributária. Também os próprios camponeses tentaram modificar a agrimensura, com o fim de sonegar impostos" - OTTO NEUBERT - "O vale dos reis", pág 90 ]
Conhece-se grande número de obras literárias dos egípcios, sendo considerada verdadeiramente clássica a literatura do tempo da XII dinastia. Apreciam-se as narrativas poéticas desse tempo, observando-se que o preciosismo da linguagem , a tendência para as frases trabalhadas e artificiais substitui, quase sempre, a falta de originalidade e de inspiração poética.
As investigações astronômicas
Desde os tempos mais remotos houve necessidade de considerar as unidades fundamentais : o dia, o período das fases da lua e o período das estações.
Observações mesmo rudimentares mostram que o nascimento e o ocaso do Sol se fazem em pontos diferentes da abóbada celeste, conforme as estações e que, com as diferentes épocas do ano, variam também a altura máxima do Sol acima do horizonte, e o tempo que decorre entre o nascer e o por do Sol.
A necessidade de prever a enchente anual do Nilo impulsionou a astronomia.
"Certos instrumentos rudimentares, de tamareira, foram inventados no período das quatro primeiras dinastias, para a observação das estrelas (talvez o mais antigo antepassado do nosso telescópio)".
( CYRIL ALDRED - "O Antigo Egito", 1970).
Os egípcios foram bastante longe nas suas investigações, além de determinarem os quatro pontos cardiais duma forma precisa, observaram 373 eclipses do Sol e de 832 eclipses da Lua, observados antes de ALEXANDRE, os quais, pelos cálculos astronômicos, se verifica deverem ter-se realizado num período de 1.200 a 1.300 anos, o que indicaria que o começo dessas observações iria a 1.600 a 1.700 anos aC..
Tais trabalhos devem ter-se perdido mesmo antes de PTOLOMEU (II Século aC.), porque este astrônomo, que viveu em Alexandria, tendo-se dedicado muito especialmente ao estudo dos eclipses, deles não faz menção, sendo para estranhar que tantas observações lhe não tenham servido para os estudos, e apenas as observações e resultados colhidos pelos astrônomos caldeus.
Conhecendo as constelações, os egípcios, segundo os autores gregos, tinham os seus colégios de sacerdotes em Dióspolis, Heliópolis e Mênfis, onde se encontrava o famoso monumento de OSIMANDIAS, constituído por um anel cilíndrico de ouro ou de bronze dourado, de 365 côvados de circunferência e um côvado de largo, dividido em 365 partes correspondentes a cada dia do ano, com nascimento e o acaso hilíaco das estrelas fixas correspondentes.
Para os egípcios as estrelas eram consideradas como sendo residências de seres luminosos e tinham nomes próprios. Deles diziam os escritores latinos MACRÓBIO, VITRÚVIO e MARCIANO CAPELLA que os seus astrônomos tinham verificado o movimento de Vênus e Mercúrio em volta do Sol, sendo certo que a Astronomia registra o sistema chamado "Egípcio", em que se consideram Vênus e Mercúrio movendo-se à roda do Sol, e o Sol, Marte, Júpiter, Saturno e a Lua movendo-se à roda da Terra.
As constelações foram marcadas em mapas e receberam nomes como 'O Crocodilo', 'O Hipopótamo', etc. Metade do teto da "Sala de Ouro" da tumba de SETHI I ( nº 17, do Vale dos Reis), é decorada com as constelações egípcias.
"Os egípcios observaram muito cedo que alguns dos astros se moviam através do espaço, enquanto que outros permaneciam fixos e distinguiram as estrelas 'que nunca descansam' (= 'âkhimu-urdu') das 'que nunca se mexem' (= 'âkhimu-seku'). Chamavam a Júpiter de 'Har-tap-seta-u' (= Har,guia dos espaços misteriosos), a Mercúrio de 'Serek', a Vênus de 'Duân', etc."
( CESARE CANTU - "História Universal", 1879).
Os egípcios dividiam o ano em 3 estações de 4 meses cada uma - sementerias, colheita e inundação - e fixaram-no em 365 dias distribuídos em 12 meses iguais a 30 dias, no fim dos quais se juntaram 5 dias complementares, intercalares, que os gregos chamaram 'epagómenos'.
Com esta divisão artificial e não tendo introduzido o ano bissexto, os nomes dos meses foram-se afastando a pouco e pouco da estação a que correspondiam na origem. Ao cabo de 120 anos há um mês de diferença e esta vai crescendo até compreender os 12 meses ao fim de 1.461 anos vulgares, correspondentes a 1460 anos julianos ; a partir dessa data, os meses voltam a ocupar o seu lugar no ano astronômico.
Apesar dos inconvenientes os egípcios não alteraram o calendário, por isso que, atrasando-se os dias no espaço dum século, em menos de um mês, a mudança quase que não sera notada pela massa popular na vida duma geração ; ao passo que supunham resultar maiores confusões duma nova reforma do calendário.
Para os egípcios, o ano natural principiava com a cheia do Nilo, cujo começo coincidia com o momento em que a mais brilhante das estrelas fixas - Sírio (Sothis) - torna a ver-se no céu ao despontar da manhã, o que, na latitude de Mênfis, e no tempo do Antigo Império, sucedia no dia 20 de julho - o 1º dia do ano novo dos egípcios.
Este dia era variável no calendário vulgar, visto que a cheia do Nilo, que servia para o determinar, se realizava de 4 em 4 anos, um dia mais tarde. Os egípcios, por isso, festejavam o dia do ano novo vulgar e o do ano novo fixo.
Passados 1.461 anos vulgares - período Sothíaco, do nome Sothis da estrela Sírio - coincidiam os 2 dias durante 4 anos, fato que se deu nos anos 2.785 a 2.782 e 1.325 a 1.322 aC. e 136 a 139 dC.
PTOLOMEU II (238 aC.) procurou converter o ano vulgar em ano fixo, introduzindo de 4 em 4 anos um 6º dia intercalar, o que só foi realizado por CÉSAR, em 45 aC..
No Egito o calendário juliano só entrou em uso em 29 aC..
Foram os coptas quem nos conservaram os nomes dos meses egípcios e sua divisão em 3 estações. Eis a correspondência dos meses egípcios com o nosso calendário :
" AKHIT
1º mês - Thot 29 de agosto a 27 de setembro
2º mês - Faôfi 28 de setembro a 27 de outubro
3º mês - Hathor 28 de outubro a 26 de novembro
4º mês - Choiak 27 de novembro a 26 de dezembro
PÉRIT
1º mês - Tobi 27 de dezembro a 25 de janeiro
2º mês - Mechir 26 de janeiro a 24 de fevereiro
3º mês - Famenoth 25 de fevereiro a 26 de março
4º mês - Farmuth 27 de março a 25 de abril
SHEMUT
1º mês - Pachôn 26 de abril a 25 de maio
2º mês - Paoni 26 de maio a 24 de junho
3º mês - Epif 25 de junho a 24 de julho
4º mês - Mesorê 25 de julho a 23 de agosto
( apagômenos ) 24 de agosto a 28 de agosto "
( KURT LANGE - "Piramiden, Sphinx, Pharahonen").
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As horas eram determinadas por clepsidras (= relógios d'água) ou por relógio solar, contando o dia da meia-noite à meia-noite e dividiam-no em partes iguais, das quais um certo número marcava a presença do Sol, e as restantes, a sua ausência, conforme as estações.
"Consagravam cada mês e cada dia do mês a um deus".
( HERÓDOTO - "História", II, LXXXII).
A mais antiga clepsidra egípcia data de 3.500 aC. e está no Museu do Cairo, havendo uma cópia dela no Heimatmuseum de Schwerringer, Alemanha. É um reservatório em forma de copo, com marcas no interior que indicavam as horas, enquanto a água escorria, de gota egota, por um pequeno orifício no fundo, feito com talo de uma pena. Imagens que nada têm a ver com a medição do tempo ornamentam a parte externa dessa clepsidra.
As clepsidras faziam parte do mobiliário dos templos, onde os sacerdotes as consultavam para as práticas religiosas.
O egípcio servia-se da palavra 'at' para designar instante e da palavra 'unut' para hora.
PIERRE MONTET fala que certa categoria de sacerdotes era designada pela palavra 'unuyt', pois tinham de se revezar de hora em hora, para a adoração perpétua no santuário do templo.
Segundo estudos de CHASSINAT - "Edfou", a 1ª hora do dia era chamada 'brilhante' ; a 6ª , 'erguida' ; a 12ª , 'RÁ reúne-se à vida'... "As horas da noite também recebiam nomes : a 1ª , 'derrota dos inimigos de Rá' e 'o que vê as belezas de RÁ', a 12ª."
( BUCHER - "Les Textes des Tombes de Thoutmosis III et d'Amenophis II").
A data usada nos monumentos e papiros é a do ano de governo do faraó. Isso gera certa confusão quando no caso das co-regências ao trono, pois o 1º ano do reinado deste faraó podia corresponder ao 48º daquele que o associou.
Geralmente escreviam assim :
'Ano 3, 3º mês de Perit, 25º dia sob a Majestade do Rei do Alto e Baixo Egito....'
'À época de Sua Majestade o Rei dos Dois Egitos.....'
'Ano 29, 2º mês da 2ª estação, dia 10 ' - marca a invasão de um bando de lavradores famintos ao templo de TUTMÓSIS III, gritando : "Temos fome !"
O PAPIRO DE AHMÉS
também chamado PAPIRO RHIND
Não chegaram até nós obras de ciência escritas dos antigos egípcios, a não ser algumas obras de medicina ( o papiro médico de EBERS, do tempo dos hiksos, e uma obra publicada em 1.550 aC por AMU DE KEPNI, contendo uma receita para os olhos muito importante. Investigações feitas próximo de Mênfis apresentam desenhos que se julga remontarem a uma data anterior a 2.500 aC., com a prática de operações cirúrgicas e com inscrições em que o paciente, sofrendo dores, grita : " Apressa-te; deixa-me ir embora; não me faças doer tanto".
A história conserva o nome de IEM-HETEP (= o que veio em paz) que viveu cerca de 4.500 aC.) e em que se nota cuidadas observações e vastos conhecimentos e alguns papiros relativos à matemática, em que se destaca um papiro escrito pelo sacerdote AHMÉS no ano 33º do reinado de APEPI II da XV dinastia hiksa - obra que seria a cópia dum original mais antigo, do tempo da XII dinastia, e que contém os princípios fundamentais da matemática desse tempo, com noções apresentadas sob a forma empírica, sem teoremas gerais, sem demonstrações relativas às proposições de geometria e de aritmética tratadas e até sem indicação dos processos seguidos para as respostas, que no cálculo de AHMÉS são dadas à série de questões e de problemas de que o mesmo se ocupa.
Intitula-se "Instruções para conhecer todas as coisas secretas" [ "Regras para estudar a natureza e para compreender aquilo que existe, cada mistério, cada segredo" ], este papiro que faz parte da Coleção RHIND, existente no British Museum of London e foi publicado por Eisenlohr de Leipzig , em 1877 (Ein mathematisches handbuch der alten aegypten), tendo sido depois discutido em várias memórias por CANTOR FAVARO, RODET, BOBYNIN e WEYR.
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| Papiro matemático Rhind ou Ahmés. Museu Britânico |
[ "Em 1855, um advogado e antiquário escocês de nome A.H. RHIND viajou por razões de saúde ao Egito, em busca de um clima mais ameno. Lá começou a estudar objetos antigos e em 1858 adquiriu um papiro com 5,5m. de comprimento e 32 cm.de largura, contendo 85 problemas matemáticos resolvidos, escrito em hierático pelo escriba AHMÉS. O papiro data de 1650 aC. e foi copiado de um outro mais antigo. Os problemas tratam de assuntos do cotidiano egípcio, como preço do pão, alimentação do gado, áreas de terrenos, armazenamento de grãos, e outros. (...)" - Prof. ILYDIO PEREIRA DE SÁ - UNIFESO - Curso de Matemática - História da Matemática.]
É, sem dúvida, o mais precioso documento de quantos existem relativos aos conhecimentos matemáticos egípcios, mostrando-nos o seu conteúdo que não havia o menor exagero ao contrário do que se supunha, na admiração e louvores que os diversos autores gregos e latinos consagravam aos egípcios.
Encontra-se na Primeira Parte do Papiro de AHMÉS - que parece representar um manual de cálculo matemático do tempo, com um sumário de regras e de questões organizadas para servirem de guia aos sacerdotes egípcios, cultores da especialidade - uma "Tábua da decomposição das frações" da forma 2/2n+1 em que n<50, numa soma de outras frações, tendo todas por numerador a unidade.
O que, na nossa noção matemática, e de acordo com os resultados do Manual se exprime, por exemplo, como segue :
2/3 = 1/2+1/6 ; 2/5 = 1/3+1/15 ; 2/13 = 1/8+1/52+1/104 ; 2/15 = 1/10+1/30 ; 2/29 = 1/24+1/58+1/174+ 1/132 ; 2/89 = 1/60+1/156+1/524+1/890 ; 2/97 = 1/56+1/679+1/776 ; 2/99 = 1/66+1/198.
Vêm em seguida, alguns exemplos relativos às operações fundamentais da aritmética, em que, na multiplicação, parece proceder-se por adições sucessivas dos resultados obtidos pela operação de dobrar ou multiplicar por 2 - única tábua de multiplicar que o autor parece conhecer.
Pois que AHMÉS, quando num exemplo numérico se propõe obter o produto dum número por 13, multiplica esse número por 2 e dobra o resultado, ficando assim com um número que é o quádruplo do número dado ; e segue multiplicando ainda mais esse último número por 2, fazendo depois a soma do número dado com o dobro do seu duplo, isto é, com o seu quádruplo, e com o dobro do quádruplo, isto é, com o seu óctuplo : n vezes 13, igual a n, mais 2 vezes 2n (ou 4n), mais 2 vezes 4n (ou 8n) ; 13 X n = n+2 X 2n+2x (2 X 2n), por ser 13 = 12+1 = 2(3) + 2(2) + 1.
[ Em outras palavras, "a multiplicação egípcia era feita da duplicação sucessiva dos dois termos da operação : daí o nome multiplicaçãoava-se um dos fatores numa coluna e na outra o número 1. Em seguida duplicava-se os valores dessas duas colunas. Quando na coluna do 1 encontrávamos os números que somados resultassem no outro fator da multiplicação, bastava então somaros valores correspondentes que estavam na outra coluna. Vejamos o exemplo :
Vamos multiplicar 23 X 42. Coloquemos o fator 42 numa coluna e na outra o número 1.
42 1 (agora é só completar, duplicando esses números)
84 2
168 4
336 8
672 16 verifique que os valores em negrito somam 23 (foi por isso que paramos o processo nesse ponto. Agora efetuamos a soma dos valores correspondentes que surgiram na primeira coluna: 42+84+168+672 = 966.
Outro exemplo : 19 X 125.
125 1
250 2
500 4
1000 8
2000 16
Como 19 = 16+2+1, temos que 19 X 125 = 2000+250+125 = 2375.
- in ILYDIO PEREIRA DE SÁ - UNIFESO (obra citada)]
Na divisão encontram-se os resultados sem que se indique o processo seguido e sem que se possa verificar se procediam realmente por subtrações sucessivas.
Mostra-se, porém, por documentos posteriores, que para a divisão se procedia por tentativas ; e assim, que, para dividir um número N por n , se formava a série de múltiplos de n:n 2n 3n 4n, ... até que o número N fosse achado ou fosse excedido. Deste modo era obtido o quociente e era conhecido o resto da divisão.
Trata depois o Manual de AHMÉS de apresentar as soluções de alguns problemas que se exprimem por numéricas simples de 1º grau a uma incógnita, da forma, ax + bx + cx + ... = K , em que a, b, c, ... k ,ou são números inteiros ou frações, cujo numerador é a unidade ; ou ~são a soma destes números inteiros e fracionários. Lê-se no Manual :
" Incógnita, a sua 7ª parte, o todo igual a 19" - problema cujo resultado achado por AHMÉS é 16 + 1/2 + 1/8 , isto é, 16+ 5/8 , valor exato que facilmente se obtém, resolvendo a equação x + 1/7 x = 19 ; ou, x = 19 : 8/7 = 16 5/8.
Na solução de problemas dessa natureza emprega, por vezes, o Cálculo de AHMÉS o método de falsa posição, substituído por um valor de ensaio a incógnita, chamada "hau", a qual é sempre representada no manual por um símbolo que significa "montículo" , "abundância".
Se a inserção deste valor X1 dá K1, em vez de K, tem-se então:
(a + b + c + ... ) x = k
(a + b + c + ... ) x1 = k1 , donde x = x1 k/k1.
Além desses problemas, outros contêm o Manual que pertencem às regras de companhia, e outros ainda que se resolvem mediante conhecimento de progressões simples aritméticas e geométricas, cuja soma parece, que já então conheciam. Lê-se no papiro o seguinte problema :
"Distribuir 10 medidas de trigo entre 10 pessoas, de modo que cada uma receba 1/8 de medida a menos do que a pessoa que recebeu antes dela".
Os resultados são : 7/16 , 7/16 + 1/8 , 1/16 + 2/8 , ...
Notemos que no Manual, além do símbolo especial para a incógnita, há um sinal para a adição, que consiste em duas flechas ou duas pernas que avançam, e um sinal especial para a subtração ,consistindo em duas pernas que recuam, ou ainda duas flechas. O sinal de igualdade é //\
Na parte geométrica encontram-se no Manual alguns exemplos numéricos relativos à apreciação do volume dos sêcos, a que se segue a determinação das áreas de algumas figuras retilíneas e a resolução de problemas sobre as pirâmides , em que os dados e os resultados obtidos concordam exatamente com as dimensões de algumas das pirâmides existentes.
Na avaliação daqueles volumes os resultados obtidos por AHMÉS, contem-se na forma a X b (c + 1/2 c ), em que a, b , c , são as respectivas dimensões lineares.
Quando se trata da área dum campo circular de diâmetro d = 12, o resultado obtido é expresso na fórmula A = (d - 1/9 d)(2) ou seja A = (12 - 1/9 12)(2) = 113,77 o que pressupõe a área do círculo igual à área dum quadrado, tendo por lado 8/9 do diâmetro, processo muito fácil e prático mas que se não sabe como foi obtido.
Encontra-se também no Papiro uma figura geométrica bastante mal executada que CANTOR e EISENLOHR supõem ser um triângulo isósceles, e REVILLOUT e WEYER dizem ser um triângulo retângulo, figura cuja área, segundo AHMÉS, é medida pelo semi-produto da base pelo lado. Pela primeira interpretação, a área de um triângulo de lados a , a , e b é S = a X b/2, valor apenas aproximado, quando a base é muito pequena em relação ao lado.
Acerca dos resultados obtidos por AHMÉS nos problemas sobre as pirâmides ( de "pir-e-mus" termo do radical egípcio que significa aresta ) a interpretação dada por CANTOR e EISENLOHR mostra que os processos empregados equivalem à determinação das relações trigonométricas de certos ângulos.
É assim que o matemático egípcio, por meio de dados obtidos pela medição das dimensões externas duma pirâmide, obtém a relação entre outras dimensões que não era possível medir diretamente.
Nada mais de importante contém o livro de AHMÉS.
O PAPIRO DE AKHMIN
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| Papiro Westcar |
De épocas tão recuadas não há outro documento escrito dos antigos egípcios ; mas pelo LIVRO DE AHMÉS e pelo chamado PAPIRO DE AKHMIN, descoberto pela Missão Arqueológica Francesa ao Cairo, na necrópole da antiga Panópolis e existente no Museu de Gizé [ Le papiros methématique d'Akmin - J.Baillet, Paris, 1892 ] - documento que se supõe compilado ou escrito por um cristão do Século VIII, e se refere ao ensino prático da Aritmética entre os gregos, sendo mesmo este papiro o mais antigo documento escrito conhecido sobre esse ensino - verificamos que, aparte as frações 2/3 e 3/4, a numeração fracionária apresentava grandes dificuldades que os egípcios resolveram, considerando as frações como parte alíquotas da unidade ; reduzindo cada fração a uma soma de quadrados, tendo todos a unidade por numerador ; e de modo que não houvesse, em cada caso, a considerar senão os diversos denominadores.
Talvez por isso o Livro de AHMÉS principia pela "Tábua da decomposição das frações" ; por isso, talvez, o Livro de AKHMIN começar por apresentar tábuas de multiplicação dos numerais inteiros por frações, tábuas destinadas a facilitar o cálculo.
Continuando, diremos que no Papiro de AKHMIN, escrito inteiramente de acordo com os princípios da numeração do Papiro de AHMÉS, e que se pode considerar como representando a ciência egípcia duma época muito anterior, se encontram 50 problemas com as respectivas soluções, sem que indique, como no Livro de AHMÉS, quais os processos para as obter.
Reproduzimos o problema que segue e sua solução, extraído do Papiro de AKHMIN :
" Problema 1º - Havia uma cisterna redonda : o perímetro superior tinha 20 côvados ; o perímetro inferior 12 côvados ; a profundidade 6 1/2 côvados.
Solução : 20 e 12 fazem 32 ; e 1/2 de 32 são 16. Do mesmo modo 16 por 16 faz 256. Do mesmo modo 256 por 6 1/2 faz 1664. Do mesmo modo dividimos 1664 em 36, de modo que é 46 1/6 1/48."
Neste problema em que se procura obter a capacidade da cisterna ( que pela questão se conhece ter a dorma dum tronco ou cone ) o autor avalia o volume, substituindo ao tronco do cone, um cilindro da mesma altura h = 6 1/2 e cuja base é o círculo de raio médio, de perímetro 2(pi)R = 20 + 12 sobre 2 = 16. [....]
Notemos que já se pode constatar que a unidade de superfície, entre os egípcios, era a superfície do quadrado constituído sobre a unidade de comprimento, ao que parece, o côvado ; que a unidade de volume era o volume ou cubo de aresta igual à unidade de comprimento ; sendo a unidade de peso, o peso da água contida na unidade de volume.
Aqui se encontra já estabelecida a correlação entre unidades geométricas, que é uma das bases do sistema métrico.
O PAPIRO HARRIS, conservado no Museu Britânico, contém a lei testamentária em benefício dos templos.
Por esse documento conclui-se que a renda agrícola do tributo por uma unidade de grão, mencionada nos afrescos como 'grão de tributo dos lavradores' e outras rendas consistiam em gêneros ou em trabalho : media-se em unidades de prata, gêneros ou em trabalhos, dada para as oferendas divinas.
Nos casos de crises a medida de prata ou ouro era substituída por bronze, aumentando consideravelmente os preços do grão. Temos exemplo disso no período de uns sessenta anos à partir de 1.160 aC., pela alta de preços na região tebana.
Dez anos depois da morte de RAMSÉS III, os preços subiram vertiginosamente, chegando a custar 8 'deben' o saco de cevada baixado depois desse tempo para 2 'deben' : exatamente o dobro do que valia antes da crises da crise.
Um papiro do Museu de Turim dá informações sobre uma greve de trabalhadores, ocorrida mais ou menos em 1.170 aC.. Estavam atrasados em 2 meses seus salários. Por fim, receberam a paga pelo Alcaide de Tebas.
A unidade de medida para os grãos e líquidos, conforme o Manual de AHMÉS, era o "bescha", que se dividia em meios, quartos e oitavos, parecendo que o calculador egípcio, para avaliar a capacidade dos grãos de certos volumes, toma regularmente uma vez e meia o produto da base pela altura; e, tendo assim obtido o que se chama o 'valor do corpo', divide o resultado por 20, para obter o número expresso em medidas de capacidade.
Assim, o PAPIRO DE RHIND supõe uma unidade de volume com dimensões desiguais.
"Admitindo 0,525 m. para comprimento do côvado egípcio e supondo que a unidade de volume segundo o qual se exprime o valor do corpo é 2/3 do côvado cúbito, isto é, o dobro do côvado sólido de maneira de DIDYMO ( como parece indicar a relação 1 1/2 sobre 2 ), ter-se-iam os valores seguintes para a capacidade das medidas egípcias do Papiro RHIND :
100 beschas = 1929 litros 375
1 bescha = 19 litros 294
1 hin = 1 litro 929
1 ro = 0 litro 06 "
( Revue Archéologique, 1881, tomo II)
Os cobradores de impostos recebiam títulos segundo sua hierarquia no ofício :
"Oficial Maior de Impostos" (MERI-BARSET , sob RAMSÉS IV)
"Superintendente das Terras do Faraó" (USER-MAAT-RÁ-NAKH , sob RAMSÉS IV)
"Superintendente dos Campos, do Jardim, das Vacas, dos Servos, dos Lavradores e dos Grãos de AMEN" (SEN-MUT , sob HATSCHEPSUT), etc.
" A troca de mercadorias era facilitada pelo hábito de avaliar os gêneros e os produtos manufaturados por meio de uma unidade chamada 'chât' (peso de ouro, prata ou cobre), que caiu em desuso sob os Ramsés".
( PIERRE MONTET - "La vie quotidienne em Égypte au temps des Ransés").
Embora as transações se fizessem por permuta ou troca, no Antigo Império já havia um câmbio preferencial : argolas de um metal com um peso fixo. Não se refere a uma moeda; o dinheiro em moedas só foi adotado no Egito no tempo de DARIO, no final do último período.
Um documento revela que um certo egípcio vendera por ''10 chât' uma casa situada perto da Grande Pirâmide. Uma cama valia, nesse tempo, 4 argolas e uma peça de linho, 3.
"Na tumba nº 39 do Vale dos Reis, POUYMRE (alto funcionário de HATSCHEPSUT e de MENKEPERRÁ TUTMÉS), numa pintura à direita da entrada do santuário, 2 egípcios assistem à pesagem de argolas de ouro, somando-se mais de 3.300 kg."
( JEAN CAPART - "Thebes. La gloire d'um grand passé").
Está inteiramente verificado ser o sistema de numeração dos egícios, o de base decimal, sistema que, bem pode dizer-se, tem sido usado por todos os povos, desde as mais antigas eras, havendo-o os babilônios combinado, quando se trata de números consideráveis, como um sistema de base sexagesimal, isto é, tendo por base o número 60 - como já dissemos e se verifica pelas tábuas de quadros e de cubos descobertas na Caldéia.
ARISTÓTELES, no Livro dos Problemas, indica que, do fato de terem as mãos do homem 10 dedos, resulta a resposta à seguinte questão (XV,3) : "Por que é que todos os bárbaros como os Helenos, contam por dezenas e não doutro modo ?"
Quanto à elevação de potências e consequente extração de raízes, que se encontram nas placas matemáticas babilônicas, também pelos egípcios deviam ser conhecidas, como se verifica por um papiro existente no Museu de Berlim, que contém um problema equivalente às duas equações simultâneas :
x (2) + y (2) = 100 ; y = 3/4 x ; de cuja solução resultam as duas equações :
Raiz quadrada de 26/16 = 5/4.
Raiz quadrada de 100 = 10.
PAPIRO V.S.GOLENISHCHEV
também chamado PAPIRO DE MOSCOU
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| Imagem do papiro escrito em hierático, com a tradução do problema 13 em hieróglifos. |
O papiro de Moscou foi escrito por volta de 1850 aC., por um escriba desconhecido, que o copiou de uma obra mais antiga. Tem 8 cm. de largura e 5 m. de comprimento.
Foi comprado no Egito em 1893 pelo egiptólogo V.S.GOLENISHCHEV e em 1917 adquirido pelo Museu de Belas Artes de Moscou (Pushkin).
Seu conteúdo foi traduzido por GILLINGS (1982) e CLAGETT (1999).
Contém 25 problemas envolvendo :
áreas de um triângulo e retângulo,
leme e altura de um mastro de barco,
volume de pirâmide truncada,
medidas de panos em palmos e cúbitos,
equação linear,
mistura de pão para oferta,
cálculo do trabalho de um sapateiro,
intercâmbios de pães e cerveja,
área de uma superfície curva de um cesto, e outros - mas seu estado de degradação impede a interpretação de muitos deles. - in Prof. ILYDIO PEREIRA DE SÁ - UNIFESO (obra citada)]
Os egípcios já tinham consciência desta responsabilidade e nos deixaram, no Livro dos Mortos, esta admirável lição :
" O Ontem me criou.
Eis o Hoje ;
Eu crio os Amanhãs ! "
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